但被打人又叫人把我打成轻伤，那谁来承担责任呢？

责任的承担应按过失的大小来划分，需要根据具体情况来定，建议委托律师来保障您的最大权益。
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责任承担需要结合双方过错来定，若两人以上没有共同故意或者共同过失，但其分别实施的数个行为间接结合发生同一损害后果的，应当根据过失大小或者原因力比例各自承担相应的赔偿责任。
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一般情况下，打伤别人都是需要承担法律责任的。无论主观上是故意还是过失。打伤别人，一般看伤害结果、主观过错及具体的行为承担不同的法律责任。如果未造成轻伤以上后果，一般只会承担民事责任（赔偿损失等）。法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百三十四条故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪，致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的，依照规定。《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：（一）结伙殴打、伤害他人的；（二）殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；（三）多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。